次の3つの極限を求める問題です。 1. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

3. $\lim_{x\to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1}$

$x \to 0$のとき、$\log(1+x) \to \log(1) = 0$、また $e^x - 1 \to e^0 - 1 = 1 - 1 = 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形です。

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{e^x} = \frac{\frac{1}{1+0}}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$

あるいは、$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ と $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1} = \lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \frac{x}{e^x-1} = \lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{e^x-1} = 1 \cdot 1 = 1$

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}}$

$x \to 0$のとき、$\sin x \to 0$、また $e^x - e^{-x} \to e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形です。

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{e^x + e^{-x}} = \frac{\cos 0}{e^0 + e^0} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

あるいは、$e^x - e^{-x} = (1 + x + \dots) - (1 - x + \dots) = 2x + O(x^3)$であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x\to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$

$y = (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}}$とすると、$\log y = \frac{1}{2x} \log(1+\sin 3x)$

$\lim_{x\to 0} \log y = \lim_{x\to 0} \frac{\log(1+\sin 3x)}{2x}$

$x \to 0$のとき、$\log(1+\sin 3x) \to \log(1+0) = 0$、また $2x \to 0$となるため、$\frac{0}{0}$の不定形です。

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{3\cos 3x}{1+\sin 3x}}{2} = \frac{\frac{3\cos 0}{1+\sin 0}}{2} = \frac{\frac{3}{1}}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、$\lim_{x\to 0} \log y = \frac{3}{2}$なので、$\lim_{x\to 0} y = e^{\frac{3}{2}}$

あるいは、$z = \sin 3x$とすると、$z \to 0$ ($x \to 0$)であり、$\lim_{z \to 0} (1+z)^{\frac{1}{z}} = e$を使うと、

$\lim_{x\to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}} = \lim_{x\to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{\sin 3x} \cdot \frac{\sin 3x}{2x}} = e^{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{2x}} = e^{\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{3x}{2x}} = e^{1 \cdot \frac{3}{2}} = e^{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{e^x-1} = 1$

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{e^x - e^{-x}} = \frac{1}{2}$

3. $\lim_{x\to 0} (1+\sin 3x)^{\frac{1}{2x}} = e^{\frac{3}{2}}$