次の4つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int 3x(x^2+2)^2 dx$ (2) $\int x^2 e^x dx$ (3) $\int (\log x)^2 dx$ (4) $\int \cos^4 x \sin x dx$

以下に、画像に写っている積分問題とその解法を示します。

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int 3x(x^2+2)^2 dx$

(2) $\int x^2 e^x dx$

(3) $\int (\log x)^2 dx$

(4) $\int \cos^4 x \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 3x(x^2+2)^2 dx$ の解き方

$u = x^2+2$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。

したがって、

$\int 3x(x^2+2)^2 dx = \int \frac{3}{2} u^2 du = \frac{3}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C = \frac{1}{2} u^3 + C = \frac{1}{2} (x^2+2)^3 + C$

(2) $\int x^2 e^x dx$ の解き方

部分積分を2回行います。

まず、$u=x^2, dv = e^x dx$ とおくと、$du=2x dx, v=e^x$ となります。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

次に、$\int 2x e^x dx$ を部分積分します。$u=2x, dv=e^x dx$ とおくと、$du=2dx, v=e^x$ となります。

$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2-2x+2) + C$

(3) $\int (\log x)^2 dx$ の解き方

部分積分を行います。$u=(\log x)^2, dv = dx$ とおくと、$du = \frac{2\log x}{x} dx, v=x$ となります。

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2\log x}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分します。$u=\log x, dv=dx$ とおくと、$du=\frac{1}{x} dx, v=x$ となります。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(4) $\int \cos^4 x \sin x dx$ の解き方

$u = \cos x$ とおくと、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \cos^4 x \sin x dx = \int -u^4 du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}(x^2+2)^3 + C$

(2) $e^x(x^2-2x+2) + C$

(3) $x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(4) $-\frac{\cos^5 x}{5} + C$