等式 $f(x) = x^2 + 2\int_0^1 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

等式 $f(x) = x^2 + 2\int_0^1 f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

積分 $\int_0^1 f(t) dt$ は定数なので、これを $k$ とおく。

$k = \int_0^1 f(t) dt$

すると、$f(x)$ は次のように表せる。

$f(x) = x^2 + 2k$

この $f(x)$ を $k$ の式に代入する。

$k = \int_0^1 (t^2 + 2k) dt$

積分を実行する。

$k = [\frac{1}{3}t^3 + 2kt]_0^1$

$k = \frac{1}{3} + 2k$

$k$ について解く。

$-k = \frac{1}{3}$

$k = -\frac{1}{3}$

これを $f(x) = x^2 + 2k$ に代入する。

$f(x) = x^2 + 2(-\frac{1}{3})$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - \frac{2}{3}$