放物線 $y = x^2 - 3x$ と2つの直線 $y=0$, $y=4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と2つの直線 $y=0$, $y=4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 3x$ と $y=0$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

$x = 0, 3$

次に、$y = x^2 - 3x$ と $y=4$ の交点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

$(x-4)(x+1) = 0$

$x = -1, 4$

求める面積 $S$ は、$y=4$ と $y=x^2-3x$ で囲まれた部分の面積から、$y=0$ と $y=x^2-3x$ で囲まれた部分の面積を引いたものとなる。ただし、$x^2-3x$ は $x=0$ と $x=3$ の間で負の値を取るため、積分する際には絶対値を取る必要がある。

$S = \int_{-1}^{4} (4 - (x^2 - 3x)) dx - \left| \int_{0}^{3} (0 - (x^2 - 3x)) dx \right|$

$S = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx - \left| \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx \right|$

$S = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 4x \right]_{-1}^{4} - \left| \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_{0}^{3} \right|$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) - \left| -9 + \frac{27}{2} \right|$

$S = -\frac{64}{3} + 24 + 16 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 - \left| \frac{-18 + 27}{2} \right|$

$S = -\frac{65}{3} + 44 - \frac{3}{2} - \frac{9}{2}$

$S = -\frac{65}{3} + 44 - \frac{12}{2}$

$S = -\frac{65}{3} + 44 - 6$

$S = -\frac{65}{3} + 38$

$S = \frac{-65 + 114}{3} = \frac{49}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{49}{3}$