与えられた関数 $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用いる。

$u = \sqrt{\frac{x-1}{2-x}}$ とおくと、$y = \tan^{-1} u$ となる。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ である。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} (\tan^{-1} u) = \frac{1}{1+u^2}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求める。$u = \sqrt{\frac{x-1}{2-x}} = (\frac{x-1}{2-x})^{1/2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x-1}{2-x})^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx} (\frac{x-1}{2-x})$

$\frac{d}{dx} (\frac{x-1}{2-x}) = \frac{(1)(2-x) - (x-1)(-1)}{(2-x)^2} = \frac{2-x + x -1}{(2-x)^2} = \frac{1}{(2-x)^2}$

したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x-1}{2-x})^{-1/2} \cdot \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2-x}{x-1}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{2 \sqrt{(x-1)(2-x)^3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}}$

$= \frac{1}{\frac{2-x+x-1}{2-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}} = \frac{2-x}{1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}} = \frac{2-x}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^3}}$

$= \frac{2-x}{2\sqrt{(x-1)(2-x)^2(2-x)}} = \frac{2-x}{2(2-x)\sqrt{(x-1)(2-x)}} = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{-x^2+3x-2}}$

ただし、簡単な方法として、以下のような解き方がある。

$1+u^2 = 1+\frac{x-1}{2-x} = \frac{2-x+x-1}{2-x} = \frac{1}{2-x}$

よって、$\frac{1}{1+u^2} = 2-x$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x-1}{2-x})^{-1/2} \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2-x}{x-1}} \cdot \frac{1}{(2-x)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = (2-x) \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2-x}{x-1}} \frac{1}{(2-x)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2-x}{x-1}} \frac{1}{2-x}$

$= \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2-x}}{\sqrt{x-1}} \frac{1}{2-x} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}} = \frac{1}{2\sqrt{(x-1)(2-x)}}$

$= \frac{1}{2 \sqrt{-x^2 + 3x -2}}$

別の解法:

$\tan^{-1}(\sqrt{\frac{x-1}{2-x}})$において、

$x = 1 + \sin^2 \theta$とおくと

$\frac{x-1}{2-x} = \frac{\sin^2 \theta}{2 - 1 - \sin^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \tan^2 \theta$

$\tan^{-1} (\sqrt{\frac{x-1}{2-x}}) = \tan^{-1} (\tan \theta) = \theta$

$\sin^2 \theta = x-1$

$\sin \theta = \sqrt{x-1}$

$\theta = \sin^{-1} \sqrt{x-1}$

$\frac{d \theta}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2 \sqrt{(2-x)(x-1)}} = \frac{1}{2 \sqrt{-x^2 + 3x -2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{-x^2 + 3x -2}}$