無限等比級数 $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \cdots$ について、以下のものを求める問題です。 (1) 第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ (2) 和 $S$ (3) $|S_n - S|$ が初めて $\frac{1}{10000}$ より小さくなる $n$ の値

1. 問題の内容

無限等比級数 $1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + \cdots$ について、以下のものを求める問題です。

(1) 第 $n$ 項までの部分和 $S_n$

(2) 和 $S$

(3) $|S_n - S|$ が初めて $\frac{1}{10000}$ より小さくなる $n$ の値

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 項までの部分和 $S_n$ を求める。

この等比数列の初項は $a=1$、公比は $r=\frac{1}{5}$ です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ を用います。

$S_n = \frac{1(1-(\frac{1}{5})^n)}{1-\frac{1}{5}} = \frac{1-(\frac{1}{5})^n}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}(1-(\frac{1}{5})^n)$

(2) 和 $S$ を求める。

$|r| = \frac{1}{5} < 1$ であるため、無限等比級数は収束します。

無限等比級数の和の公式 $S = \frac{a}{1-r}$ を用います。

$S = \frac{1}{1-\frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$

(3) $|S_n - S|$ が初めて $\frac{1}{10000}$ より小さくなる $n$ の値を求める。

$|S_n - S| = |\frac{5}{4}(1-(\frac{1}{5})^n) - \frac{5}{4}| = |\frac{5}{4} - \frac{5}{4}(\frac{1}{5})^n - \frac{5}{4}| = \frac{5}{4}(\frac{1}{5})^n$

$\frac{5}{4}(\frac{1}{5})^n < \frac{1}{10000}$ となる $n$ を探します。

$(\frac{1}{5})^n < \frac{4}{50000} = \frac{1}{12500}$

$5^n > 12500$

$5^1 = 5$

$5^2 = 25$

$5^3 = 125$

$5^4 = 625$

$5^5 = 3125$

$5^6 = 15625$

したがって、$n = 6$ のとき、$5^n > 12500$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{5}{4}(1-(\frac{1}{5})^n)$

(2) $S = \frac{5}{4}$

(3) $n = 6$