$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ を示す。

1. 問題の内容

$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$ を示す。

$y = \arccos x$ とおく。このとき、$x = \cos y$ であり、 $0 \le y \le \pi$ である。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\sin^2 y = 1 - \cos^2 y = 1 - x^2$。

$0 \le y \le \pi$ であるから、$\sin y \ge 0$ である。

したがって、$\sin y = \sqrt{1-x^2}$。

よって、$\sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2}$。

(2) $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ を示す。

$z = \arcsin x$ とおく。このとき、$x = \sin z$ であり、$-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\sin^2 z + \cos^2 z = 1$ より、$\cos^2 z = 1 - \sin^2 z = 1 - x^2$。

$-\frac{\pi}{2} \le z \le \frac{\pi}{2}$ であるから、$\cos z \ge 0$ である。

したがって、$\cos z = \sqrt{1-x^2}$。

よって、$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$。

(3) 以上の結果より、$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ が示された。

3. 最終的な答え

$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$