与えられた二つの積分 $I_1$ と $I_2$ を計算する問題です。 (1) $I_1 = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-x^2 - y^2} dx dy$ (2) $I_2 = \int_0^\infty e^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた二つの積分 $I_1$ と $I_2$ を計算する問題です。

(1) $I_1 = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-x^2 - y^2} dx dy$

(2) $I_2 = \int_0^\infty e^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $I_1$ の計算

$I_1$ は二重積分であり、被積分関数が $e^{-x^2-y^2}=e^{-x^2}e^{-y^2}$ と変数分離できるため、$x$ と $y$ それぞれの積分に分解できます。

$I_1 = \int_0^\infty e^{-x^2} dx \int_0^\infty e^{-y^2} dy$

ここで、$I_2 = \int_0^\infty e^{-x^2} dx$ を用いると、

$I_1 = I_2 \cdot I_2 = I_2^2$

次に、$I_1$ を極座標変換して計算します。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とすると、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、$dx dy = r dr d\theta$ です。積分範囲は、$x, y \ge 0$ なので、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。また、$0 \le r < \infty$ です。したがって、

$I_1 = \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty e^{-r^2} r dr d\theta$

まず、$r$ について積分します。$u = r^2$ と置換すると、$du = 2r dr$ となるので、

$\int_0^\infty e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_0^\infty = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$

したがって、

$I_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

(2) $I_2$ の計算

上記より、$I_1 = I_2^2$ であり、$I_1 = \frac{\pi}{4}$ なので、

$I_2^2 = \frac{\pi}{4}$

$I_2 = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ($I_2$ は正なので、正の平方根を取ります)

3. 最終的な答え

(1) $I_1 = \frac{\pi}{4}$

(2) $I_2 = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$