数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定義されるとき、その極限を求めよ。 $a_1 = 5, \quad a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定義されるとき、その極限を求めよ。

$a_1 = 5, \quad a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3$

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、その極限を $\alpha$ とおく。つまり、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ かつ $\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$

であるとする。

漸化式 $a_{n+1} = -\frac{1}{2}a_n + 3$ の両辺について $n \to \infty$ の極限を取ると、

$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{2}a_n + 3\right)$

$\alpha = -\frac{1}{2}\alpha + 3$

$\frac{3}{2}\alpha = 3$

$\alpha = 2$

次に、数列 $\{a_n - 2\}$ が等比数列であることを示す。漸化式を変形すると、

$a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{2}a_n + 3 - 2$

$a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{2}a_n + 1$

$a_{n+1} - 2 = -\frac{1}{2}(a_n - 2)$

したがって、数列 $\{a_n - 2\}$ は、初項 $a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$、公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

よって、

$a_n - 2 = 3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$a_n = 3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(3\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 2\right) = 3 \cdot 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

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