与えられた2つの不等式を証明する問題です。 (1) 全ての実数 $x$ に対して $e^x \geq x+1$ を証明する。 (2) $x \geq 0$ のとき、$x \geq \tan^{-1} x$ を証明する。

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を証明する問題です。

(1) 全ての実数 $x$ に対して $e^x \geq x+1$ を証明する。

(2) $x \geq 0$ のとき、$x \geq \tan^{-1} x$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = e^x - (x+1)$ を定義します。この関数の最小値を求めることで不等式を証明します。

$f'(x) = e^x - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^x - 1 = 0$

$e^x = 1$

$x = 0$

$x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ であり、$x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ であるため、$x=0$ で $f(x)$ は最小値を取ります。

$f(0) = e^0 - (0+1) = 1 - 1 = 0$

したがって、$f(x) \geq 0$ が成り立ちます。

$e^x - (x+1) \geq 0$

$e^x \geq x+1$

(2)

関数 $g(x) = x - \tan^{-1} x$ を定義します。この関数の最小値を求めることで不等式を証明します。ただし、$x \geq 0$ です。

$g'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

$x \geq 0$ において、$g'(x) \geq 0$ なので、$g(x)$ は単調増加関数です。

$g(0) = 0 - \tan^{-1}(0) = 0 - 0 = 0$

したがって、$x \geq 0$ において $g(x) \geq 0$ が成り立ちます。

$x - \tan^{-1} x \geq 0$

$x \geq \tan^{-1} x$

3. 最終的な答え

(1) 全ての実数 $x$ に対して、$e^x \geq x+1$ が成り立つ。

(2) $x \geq 0$ のとき、$x \geq \tan^{-1} x$ が成り立つ。