関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 4t + 1) dt$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 4t + 1) dt$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。微積分学の基本定理より、

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 4x + 1 = 0$

$(3x - 1)(x - 1) = 0$

したがって、$x = \frac{1}{3}$ または $x = 1$ です。

次に、$x = \frac{1}{3}$ と $x = 1$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べ、極大値または極小値を判定します。

* $x < \frac{1}{3}$ のとき、例えば $x = 0$ とすると、$f'(0) = 1 > 0$

* $\frac{1}{3} < x < 1$ のとき、例えば $x = \frac{1}{2}$ とすると、$f'(\frac{1}{2}) = 3(\frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0$

* $x > 1$ のとき、例えば $x = 2$ とすると、$f'(2) = 3(4) - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0$

したがって、$x = \frac{1}{3}$ で極大値をとり、$x = 1$ で極小値をとります。

それぞれの極値を求めます。

$f(x) = \int_{0}^{x} (3t^2 - 4t + 1) dt = [t^3 - 2t^2 + t]_{0}^{x} = x^3 - 2x^2 + x$

$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{1 - 6 + 9}{27} = \frac{4}{27}$

$f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3}$ のとき極大値 $\frac{4}{27}$ をとる。

$x = 1$ のとき極小値 $0$ をとる。