問題は、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、$\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial r}{\partial y}$, $\frac{\partial r}{\partial z}$ を求める問題です。画像には、すでにこれらの偏導関数の答えが示されています。

1. 問題の内容

問題は、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ が与えられたとき、$\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial r}{\partial y}$, $\frac{\partial r}{\partial z}$ を求める問題です。画像には、すでにこれらの偏導関数の答えが示されています。

2. 解き方の手順

与えられた $r$ を $x$, $y$, $z$ でそれぞれ偏微分します。

まず、$\frac{\partial r}{\partial x}$ を計算します。

$r = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$ なので、連鎖律を用いて微分すると、

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

同様に、$\frac{\partial r}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{y}{r}$

最後に、$\frac{\partial r}{\partial z}$ を計算します。

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} \cdot 2z = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{z}{r}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$

$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$