問題は、対数関数のグラフの平行移動、共有点の座標、および異なる$a$の値に対する2つの対数関数のグラフの概形を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、対数関数のグラフの平行移動、共有点の座標、および異なる$a$の値に対する2つの対数関数のグラフの概形を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \log_2(\frac{x}{2} + 3)$ のグラフCは、$y = \log_2 x$ のグラフDをどのように平行移動したものかを求めます。

$y = \log_2(\frac{x}{2} + 3) = \log_2(\frac{1}{2}(x+6)) = \log_2(x+6) - \log_2(2) = \log_2(x+6) - 1$

したがって、CはDをx軸方向に-6、y軸方向に-1だけ平行移動したものです。

CとDの共有点の座標を求めます。

$\log_2(\frac{x}{2} + 3) = \log_2 x$

$\frac{x}{2} + 3 = x$

$3 = \frac{x}{2}$

$x = 6$

$y = \log_2 6 = \log_2(2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3$

したがって、共有点の座標は$(6, 1+\log_2 3)$です。

(2)

$a$を実数の定数とするとき、$y = \log_2(\frac{x}{a} + a+1)$のグラフを$C_1$、$y = \log_2 x$のグラフを$C_2$とします。$C_1$を実線、$C_2$を点線で表します。

$a=2$のとき、$y = \log_2(\frac{x}{2} + 3)$となります。

これは(1)で考えた$C$のグラフと同じです。つまり、$C_1$は$C_2$（点線）を$x$軸方向に-6、$y$軸方向に-1平行移動させたものです。よって、概形を表した図は⑥です。

$a=-2$のとき、$y = \log_2(-\frac{x}{2} - 1)$となります。

$y = \log_2(-\frac{1}{2}(x+2))$となり、グラフは$y=\log_2 x$のグラフを$x$軸方向に-2平行移動した後、$y$軸に関して折り返し、$y$軸方向に$1/2$縮小したグラフになります。よって、概形を表した図は⑤です。

3. 最終的な答え

(1)

* アイ: -6

* ウエ: -1

* オ: 6

* カ: 3

(2)

* キ: ⑥

* ク: ⑤