曲線 $C: x = \cos t, y = 2 \sin t, (0 \le t \le 2\pi)$ で囲まれた範囲 $D$ において、重積分 $\iint_D (xy+1) \, dxdy$ を計算する問題です。具体的には、まず曲線 $C$ を図示し、次に与えられた重積分の値を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C: x = \cos t, y = 2 \sin t, (0 \le t \le 2\pi)$ で囲まれた範囲 $D$ において、重積分 $\iint_D (xy+1) \, dxdy$ を計算する問題です。具体的には、まず曲線 $C$ を図示し、次に与えられた重積分の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $C$ の図示:

$x = \cos t$ と $y = 2 \sin t$ から $x^2 = \cos^2 t$ と $y^2 = 4 \sin^2 t$ を得ます。

よって、

$$x^2 + \frac{y^2}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$$

これは楕円の方程式を表しています。長軸が $y$ 軸上にあり、短軸が $x$ 軸上にある楕円です。$0 \le t \le 2\pi$ なので、楕円全体を表します。

(2) 重積分の計算:

まず、変数変換を行います。$x = r \cos \theta$, $y = 2r \sin \theta$ とおくと、ヤコビアンは

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ 2 \sin \theta & 2r \cos \theta \end{vmatrix} = 2r \cos^2 \theta + 2r \sin^2 \theta = 2r$$

積分範囲は $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、

\begin{align*} \iint_D (xy+1) \, dxdy &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta \cdot 2r \sin \theta + 1) |J| \, dr d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (2r^2 \sin \theta \cos \theta + 1) 2r \, dr d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (4r^3 \sin \theta \cos \theta + 2r) \, dr d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left[ r^4 \sin \theta \cos \theta + r^2 \right]_0^1 \, d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} (\sin \theta \cos \theta + 1) \, d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left( \frac{1}{2} \sin(2\theta) + 1 \right) \, d\theta \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos(2\theta) + \theta \right]_0^{2\pi} \\ &= \left( -\frac{1}{4} \cos(4\pi) + 2\pi \right) - \left( -\frac{1}{4} \cos(0) + 0 \right) \\ &= -\frac{1}{4} + 2\pi + \frac{1}{4} = 2\pi \end{align*}

3. 最終的な答え

積分値は $2\pi$ です。