次の関数を微分せよ。 (1) $\cos(4x-3)$ (2) $\tan(3x^2+2)$ (3) $x^4 \sin^3 x$ (4) $\cos^4 (\frac{2}{x^3+1})$ (5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $\cos(4x-3)$

(2) $\tan(3x^2+2)$

(3) $x^4 \sin^3 x$

(4) $\cos^4 (\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $\cos(4x-3)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx}$

$u = 4x-3$ とすると、$\frac{du}{dx} = 4$

よって、

$\frac{d}{dx} \cos(4x-3) = -\sin(4x-3) \cdot 4 = -4\sin(4x-3)$

(2) $\tan(3x^2+2)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \tan(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{du}{dx}$

$u = 3x^2+2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 6x$

よって、

$\frac{d}{dx} \tan(3x^2+2) = \frac{1}{\cos^2(3x^2+2)} \cdot 6x = \frac{6x}{\cos^2(3x^2+2)}$

(3) $x^4 \sin^3 x$ の微分

積の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = x^4$ とすると、$u' = 4x^3$

$v = \sin^3 x$ とすると、$v' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$ (合成関数の微分)

よって、

$\frac{d}{dx} (x^4 \sin^3 x) = 4x^3 \sin^3 x + x^4 (3\sin^2 x \cos x) = 4x^3 \sin^3 x + 3x^4 \sin^2 x \cos x$

(4) $\cos^4 (\frac{2}{x^3+1})$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$u = \frac{2}{x^3+1}$ とすると、$u = 2(x^3+1)^{-1}$

$\frac{du}{dx} = 2(-1)(x^3+1)^{-2} \cdot 3x^2 = -\frac{6x^2}{(x^3+1)^2}$

$\frac{d}{dx} \cos^4(u) = 4\cos^3(u) \cdot (-\sin(u)) \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx} \cos^4 (\frac{2}{x^3+1}) = 4 \cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \cdot (-\sin(\frac{2}{x^3+1})) \cdot (-\frac{6x^2}{(x^3+1)^2})$

$= \frac{24x^2}{(x^3+1)^2} \cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \sin(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}$ の微分

商の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \cos x$ とすると、$u' = -\sin x$

$v = \sin x + \cos x$ とすると、$v' = \cos x - \sin x$

$\frac{d}{dx} (\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}) = \frac{(-\sin x)(\sin x + \cos x) - (\cos x)(\cos x - \sin x)}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{-\sin^2 x - \sin x \cos x - \cos^2 x + \sin x \cos x}{(\sin x + \cos x)^2}$

$= \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{(\sin x + \cos x)^2} = \frac{-1}{(\sin x + \cos x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \cos(4x-3) = -4\sin(4x-3)$

(2) $\frac{d}{dx} \tan(3x^2+2) = \frac{6x}{\cos^2(3x^2+2)}$

(3) $\frac{d}{dx} (x^4 \sin^3 x) = 4x^3 \sin^3 x + 3x^4 \sin^2 x \cos x$

(4) $\frac{d}{dx} \cos^4 (\frac{2}{x^3+1}) = \frac{24x^2}{(x^3+1)^2} \cos^3(\frac{2}{x^3+1}) \sin(\frac{2}{x^3+1})$

(5) $\frac{d}{dx} (\frac{\cos x}{\sin x + \cos x}) = \frac{-1}{(\sin x + \cos x)^2}$