与えられた定積分 $\int_0^1 (2+x) \sqrt{1-x^2} \, dx$ の値を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^1 (2+x) \sqrt{1-x^2} \, dx$

の値を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分を二つに分解する。

$\int_0^1 (2+x) \sqrt{1-x^2} \, dx = \int_0^1 2\sqrt{1-x^2} \, dx + \int_0^1 x\sqrt{1-x^2} \, dx$

それぞれの積分を別々に計算する。

一つ目の積分は

$\int_0^1 2\sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

これは半径1の円の上半分を表す関数を0から1まで積分している。積分範囲を考えると、これは半径1の円の第一象限の面積の2倍に等しい。つまり、$1/4$ 円の面積の2倍。半径1の円の面積は$\pi (1)^2 = \pi$ であるので、

$2 \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

二つ目の積分は、$u = 1-x^2$とおくと、$du = -2x \, dx$ となるから、

$\int_0^1 x\sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{2}du) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} (1)^{3/2} - \frac{2}{3} (0)^{3/2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

よって、元の積分は

$\int_0^1 (2+x) \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$