集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \le 1\}$ と $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられている。以下の4つの問いに答えよ。 (1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。 (2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。 (3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。 (4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \le 1\}$ と $B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\}$ が与えられている。以下の4つの問いに答えよ。

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ として正しい選択肢を選べ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B$ を求める。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x \le 1\} \cap \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 2\} = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \le 1\}$.

(1) $A \cap B$ の上界の集合 $U(A \cap B)$ を求める。

$A \cap B$ の要素はすべて1以下である。したがって、上界の集合は $\{x \in \mathbb{R} \mid x \ge 1\}$ である。しかし，$x>1$でも上界となるので、$\{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$も上界の集合と言える。問題文では$\{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$の選択肢が選ばれている。

(2) $A \cap B$ の上限 $\sup(A \cap B)$ を求める。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \le 1\}$ の上限は1である。

(3) $A \cap B$ の下界の集合 $L(A \cap B)$ を求める。

$A \cap B$ の要素はすべて0より大きい。したがって、下界の集合は $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$ である。

(4) $A \cap B$ の下限 $\inf(A \cap B)$ を求める。

$A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid 0 < x \le 1\}$ の下限は0である。

3. 最終的な答え

(1) $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 1\}$

(2) 1

(3) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \le 0\}$

(4) 0