定積分 $\int_{0}^{2} (4-x^2)^{3/2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} (4-x^2)^{3/2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

三角関数による置換積分を行います。

$x = 2\sin\theta$ とおくと、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

また、積分範囲は $x: 0 \to 2$ に対して $\theta: 0 \to \pi/2$ となります。

したがって、

\begin{align*}

\int_{0}^{2} (4-x^2)^{3/2} dx &= \int_{0}^{\pi/2} (4 - 4\sin^2\theta)^{3/2} \cdot 2\cos\theta d\theta \\

&= \int_{0}^{\pi/2} (4\cos^2\theta)^{3/2} \cdot 2\cos\theta d\theta \\

&= \int_{0}^{\pi/2} 8\cos^3\theta \cdot 2\cos\theta d\theta \\

&= 16 \int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta

\end{align*}

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}$ を用いると、

\begin{align*}

\cos^4\theta &= (\cos^2\theta)^2 = \left(\frac{1 + \cos2\theta}{2}\right)^2 \\

&= \frac{1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta}{4} \\

&= \frac{1 + 2\cos2\theta + \frac{1 + \cos4\theta}{2}}{4} \\

&= \frac{2 + 4\cos2\theta + 1 + \cos4\theta}{8} \\

&= \frac{3 + 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8}

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

\int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta &= \int_{0}^{\pi/2} \frac{3 + 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8} d\theta \\

&= \frac{1}{8} \left[ 3\theta + 2\sin2\theta + \frac{1}{4}\sin4\theta \right]_{0}^{\pi/2} \\

&= \frac{1}{8} \left( \frac{3\pi}{2} + 0 + 0 - (0 + 0 + 0) \right) \\

&= \frac{3\pi}{16}

\end{align*}

よって、

$\int_{0}^{2} (4-x^2)^{3/2} dx = 16 \cdot \frac{3\pi}{16} = 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$