定積分 $\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u v' \, dx = uv - \int u' v \, dx$ です。

$u = x$, $v' = \sinh x$ とおくと、$u' = 1$, $v = \cosh x$ となります。

したがって、

$$\int x \sinh x \, dx = x \cosh x - \int \cosh x \, dx = x \cosh x - \sinh x + C$$

となります。

次に、定積分を計算します。

\begin{align*}

\int_{0}^{1} x \sinh x \, dx &= \left[ x \cosh x - \sinh x \right]_{0}^{1} \\

&= (1 \cdot \cosh 1 - \sinh 1) - (0 \cdot \cosh 0 - \sinh 0) \\

&= \cosh 1 - \sinh 1 - 0 \\

&= \frac{e^1 + e^{-1}}{2} - \frac{e^1 - e^{-1}}{2} \\

&= \frac{e - e^{-1}}{2} - \frac{e - e^{-1}}{2} \\

&= \frac{e + \frac{1}{e}}{2} - \frac{e - \frac{1}{e}}{2} \\

&= \frac{e^2 + 1}{2e} - \frac{e^2 - 1}{2e} \\

&= \frac{e^2 + 1 - (e^2 - 1)}{2e} \\

&= \frac{e^2 + 1 - e^2 + 1}{2e} \\

&= \frac{2}{2e} \\

&= \frac{1}{e}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$