定積分 $\int_0^\pi \sin^2 x \cos^4 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^\pi \sin^2 x \cos^4 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

三角関数の積の積分を計算するために、まず積を和の形に変換します。$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ と $\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = (\frac{1 + \cos 2x}{2})^2 = \frac{1 + 2 \cos 2x + \cos^2 2x}{4} = \frac{1 + 2 \cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{3 + 4 \cos 2x + \cos 4x}{8}$ を用いて、

$\sin^2 x \cos^4 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \cdot \frac{3 + 4 \cos 2x + \cos 4x}{8} = \frac{3 + 4 \cos 2x + \cos 4x - 3 \cos 2x - 4 \cos^2 2x - \cos 2x \cos 4x}{16} = \frac{3 + \cos 2x + \cos 4x - 4(\frac{1 + \cos 4x}{2}) - \frac{1}{2}(\cos 6x + \cos 2x)}{16} = \frac{3 + \cos 2x + \cos 4x - 2 - 2 \cos 4x - \frac{1}{2} \cos 6x - \frac{1}{2} \cos 2x}{16} = \frac{1 + \frac{1}{2} \cos 2x - \cos 4x - \frac{1}{2} \cos 6x}{16}$

したがって、

$\int_0^\pi \sin^2 x \cos^4 x dx = \int_0^\pi \frac{1 + \frac{1}{2} \cos 2x - \cos 4x - \frac{1}{2} \cos 6x}{16} dx = \frac{1}{16} \int_0^\pi (1 + \frac{1}{2} \cos 2x - \cos 4x - \frac{1}{2} \cos 6x) dx = \frac{1}{16} [x + \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{4} \sin 4x - \frac{1}{12} \sin 6x]_0^\pi = \frac{1}{16} (\pi + 0 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 + 0) = \frac{\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{16}$