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与えられた積分 $\int \frac{(\sqrt{t}-3)^2}{t} dt$ を計算します。

解析学積分不定積分ルート対数関数
2025/6/2

1. 問題の内容

与えられた積分 ∫(t−3)2tdt\int \frac{(\sqrt{t}-3)^2}{t} dt を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。
(t−3)2=(t)2−2⋅3⋅t+32=t−6t+9(\sqrt{t}-3)^2 = (\sqrt{t})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{t} + 3^2 = t - 6\sqrt{t} + 9
したがって、
(t−3)2t=t−6t+9t=tt−6tt+9t=1−6t+9t\frac{(\sqrt{t}-3)^2}{t} = \frac{t - 6\sqrt{t} + 9}{t} = \frac{t}{t} - \frac{6\sqrt{t}}{t} + \frac{9}{t} = 1 - \frac{6}{\sqrt{t}} + \frac{9}{t}
よって、積分は
∫(t−3)2tdt=∫(1−6t+9t)dt\int \frac{(\sqrt{t}-3)^2}{t} dt = \int (1 - \frac{6}{\sqrt{t}} + \frac{9}{t}) dt
各項を積分します。
∫1dt=t\int 1 dt = t
∫6tdt=6∫t−1/2dt=6⋅t1/21/2=12t\int \frac{6}{\sqrt{t}} dt = 6 \int t^{-1/2} dt = 6 \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} = 12\sqrt{t}
∫9tdt=9∫1tdt=9ln⁡∣t∣\int \frac{9}{t} dt = 9 \int \frac{1}{t} dt = 9 \ln|t|
したがって、
∫(1−6t+9t)dt=t−12t+9ln⁡∣t∣+C\int (1 - \frac{6}{\sqrt{t}} + \frac{9}{t}) dt = t - 12\sqrt{t} + 9 \ln|t| + C

3. 最終的な答え

t−12t+9ln⁡∣t∣+Ct - 12\sqrt{t} + 9 \ln|t| + C

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