## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を、ロピタルの定理を用いて求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} (e^x + 2x)^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

(3) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x})$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^a}, \quad a > 0$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$

(6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} (\tan x)^{\cos x}$

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2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形の極限を求める際に、$f(a) = g(a) = 0$ または $f(a) = g(a) = \pm \infty$ となる場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ を計算することで極限を求めることができるという定理です。ただし、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在する必要があります。

以下に各問題の解き方を記載します。

**(1) $\lim_{x \to 0} (e^x + 2x)^{\frac{1}{x}}$**

まず、$y = (e^x + 2x)^{\frac{1}{x}}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (e^x + 2x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (e^x + 2x)}{x}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x + 2}{e^x + 2x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 2}{e^x + 2x} = \frac{1 + 2}{1 + 0} = 3$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = 3$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^3$

**(2) $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$**

$y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln (\cos x)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos x)}{x^2}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x \cos x}$

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2\cos x - 2x \sin x} = \frac{-1}{2}$

したがって、$\lim_{x \to 0} \ln y = -\frac{1}{2}$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{2}}$

**(3) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^2} - \frac{1}{\sin^2 x})$**

$\lim_{x \to 0} (\frac{\sin^2 x - x^2}{x^2 \sin^2 x})$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x \cos x - 2x}{2x\sin^2 x + 2x^2 \sin x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{2x\sin^2 x + x^2 \sin 2x}$

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{2\sin^2 x + 4x \sin x \cos x + 2x \sin 2x + 2x^2 \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{2\sin^2 x + 4x \sin x \cos x + 2x \sin 2x + 2x^2 \cos 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{2\sin^2 x + 2x\sin2x + 2x \sin 2x + 2x^2 \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2(\cos 2x - 1)}{2\sin^2 x + 4x \sin 2x + 2x^2 \cos 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{4\sin x \cos x + 4\sin 2x + 8x \cos 2x + 4x \cos 2x - 4x^2 \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{2\sin 2x + 4\sin 2x + 12x \cos 2x - 4x^2 \sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{6\sin 2x + 12x \cos 2x - 4x^2 \sin 2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{-8\cos 2x}{12\cos 2x + 12\cos 2x - 24x \sin 2x - 8x \sin 2x - 8x^2 \cos 2x} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$

**(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x^a}, \quad a > 0$**

ロピタルの定理を $a$ が整数の場合、$a$ 回適用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{a!} = \infty$

$a$が整数で無い場合でも同様に発散する。

**(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$**

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

再び $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

**(6) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} (\tan x)^{\cos x}$**

$y = (\tan x)^{\cos x}$ とおき、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \cos x \ln (\tan x)$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \ln y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \cos x \ln (\tan x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\ln (\tan x)}{\frac{1}{\cos x}}$

これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin x}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{1}{\tan x \sin x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \frac{\cos x}{\sin^2 x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} \ln y = 0$ なので、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} y = e^0 = 1$

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3. 最終的な答え

(1) $e^3$

(2) $e^{-\frac{1}{2}}$

(3) $-\frac{1}{3}$

(4) $\infty$

(5) $2$

(6) $1$