写真に写っている不定積分の問題を解きます。見える範囲で以下の5つの問題を解きます。 (1) $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$ (2) $\int x \sqrt{x} dx$ (3) $\int (1 - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$ (4) $\int (\frac{x-2}{x})^2 dx$ (5) $\int \frac{\sqrt{t} - 3}{t^2} dt$

1. 問題の内容

写真に写っている不定積分の問題を解きます。見える範囲で以下の5つの問題を解きます。

(1) $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

(2) $\int x \sqrt{x} dx$

(3) $\int (1 - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

(4) $\int (\frac{x-2}{x})^2 dx$

(5) $\int \frac{\sqrt{t} - 3}{t^2} dt$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

まず、積分の中身を展開します。

$(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x + 2 + \frac{1}{x}$

したがって、

$\int (x + 2 + \frac{1}{x}) dx = \int x dx + \int 2 dx + \int \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2}x^2 + 2x + \ln|x| + C$

(2) $\int x \sqrt{x} dx$

$x \sqrt{x} = x^{3/2}$なので、

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$

(3) $\int (1 - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$

まず、積分の中身を展開します。

$(1 - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

したがって、

$\int (1 - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) dx = \int 1 dx - 2\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx + \int \frac{1}{x} dx = x - 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

(4) $\int (\frac{x-2}{x})^2 dx$

まず、積分の中身を展開します。

$(\frac{x-2}{x})^2 = (1 - \frac{2}{x})^2 = 1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}$

したがって、

$\int (1 - \frac{4}{x} + \frac{4}{x^2}) dx = \int 1 dx - 4\int \frac{1}{x} dx + 4\int \frac{1}{x^2} dx = x - 4\ln|x| - \frac{4}{x} + C$

(5) $\int \frac{\sqrt{t} - 3}{t^2} dt$

$\frac{\sqrt{t} - 3}{t^2} = \frac{\sqrt{t}}{t^2} - \frac{3}{t^2} = t^{-3/2} - 3t^{-2}$

したがって、

$\int (t^{-3/2} - 3t^{-2}) dt = \int t^{-3/2} dt - 3\int t^{-2} dt = -2t^{-1/2} + 3t^{-1} + C = -\frac{2}{\sqrt{t}} + \frac{3}{t} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}x^2 + 2x + \ln|x| + C$

(2) $\frac{2}{5}x^{5/2} + C$

(3) $x - 4\sqrt{x} + \ln|x| + C$

(4) $x - 4\ln|x| - \frac{4}{x} + C$

(5) $-\frac{2}{\sqrt{t}} + \frac{3}{t} + C$