与えられた関数を不定積分する問題です。

はい、承知いたしました。画像に写っている問題のうち、以下の問題について解説します。

(5) $\int (3\sin x + 2\cos x) dx$

(6) $\int (\frac{3}{\cos^2 x} - 4\cos x) dx$

(7) $\int \tan^2 x dx$

(8) $\int (1+\frac{1}{\tan x})\sin x dx$

1. 問題の内容

与えられた関数を不定積分する問題です。

2. 解き方の手順

(5) $\int (3\sin x + 2\cos x) dx$

$\sin x$ の積分は $-\cos x$ 、$\cos x$ の積分は $\sin x$ であることを利用します。

$\int (3\sin x + 2\cos x) dx = 3\int \sin x dx + 2\int \cos x dx = -3\cos x + 2\sin x + C$

(6) $\int (\frac{3}{\cos^2 x} - 4\cos x) dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であり、$\sec^2 x$ の積分は $\tan x$ 、$\cos x$ の積分は $\sin x$ であることを利用します。

$\int (\frac{3}{\cos^2 x} - 4\cos x) dx = 3\int \frac{1}{\cos^2 x} dx - 4\int \cos x dx = 3\int \sec^2 x dx - 4\int \cos x dx = 3\tan x - 4\sin x + C$

(7) $\int \tan^2 x dx$

$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を利用します。

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx = \tan x - x + C$

(8) $\int (1+\frac{1}{\tan x})\sin x dx$

$\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ であることを利用します。

$\int (1+\frac{1}{\tan x})\sin x dx = \int (1+\frac{\cos x}{\sin x})\sin x dx = \int (\sin x + \cos x) dx = \int \sin x dx + \int \cos x dx = -\cos x + \sin x + C$

3. 最終的な答え

(5) $-3\cos x + 2\sin x + C$

(6) $3\tan x - 4\sin x + C$

(7) $\tan x - x + C$

(8) $-\cos x + \sin x + C$