関数 $y = x^{\frac{1}{2x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{2x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (x^{\frac{1}{2x}})$

$\ln y = \frac{1}{2x} \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

左辺は合成関数の微分により、$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。

右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{2x} \ln x\right)$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2x^2} \ln x + \frac{1}{2x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\frac{\ln x}{2x^2} + \frac{1}{2x^2}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \ln x}{2x^2}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1 - \ln x}{2x^2}$

$y = x^{\frac{1}{2x}}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{2x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^{\frac{1}{2x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{2x^2}$