次の3つの極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 7x - \cos 3x}{x^2}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$

1. 問題の内容

次の3つの極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 7x - \cos 3x}{x^2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2}$ を計算します。

$\cos 3x - 1 = -2 \sin^2 \frac{3x}{2}$ という三角関数の公式を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 3x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}} = 1$ なので、$\sin \frac{3x}{2} \approx \frac{3x}{2}$ と近似できます。

$-2 \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{3x}{2})^2}{x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\frac{9x^2}{4}}{x^2} = -2 \cdot \frac{9}{4} = -\frac{9}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 7x - \cos 3x}{x^2}$ を計算します。

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を利用します。

$\cos 7x - \cos 3x = -2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \sin \frac{7x - 3x}{2} = -2 \sin 5x \sin 2x$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 7x - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin 5x \sin 2x}{x^2} = -2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5$, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$ なので、

$-2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} \cdot \frac{\sin 2x}{x} = -2 \cdot 5 \cdot 2 = -20$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ を計算します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\sin x - \tan x = \sin x - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sin x \cos x - \sin x}{\cos x} = \frac{\sin x (\cos x - 1)}{\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x (\cos x - 1)}{x^3 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$, $\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$ なので、

$1 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{9}{2}$

(2) $-20$

(3) $-\frac{1}{2}$