与えられた三角関数のグラフについて、以下の問いに答えます。 (1) 振幅と周期を求めます。 (2) $y = \sin x$ をどのように変換したものか求めます。 (3) $y = \cos x$ をどのように変換したものか求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角関数のグラフについて、以下の問いに答えます。

(1) 振幅と周期を求めます。

(2) $y = \sin x$ をどのように変換したものか求めます。

(3) $y = \cos x$ をどのように変換したものか求めます。

2. 解き方の手順

(1) 振幅と周期を求める

グラフより、最大値は1、最小値は-3である。

振幅は、$\frac{1 - (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$ である。

周期は、例えば、$\frac{\pi}{12}$ から $\frac{13\pi}{12}$ (図示されていないが、$\frac{7\pi}{12}$ から $\frac{19\pi}{12}$でもよい)までなので、$\frac{13\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{12\pi}{12} = \pi$ である。

(2) $y = \sin x$ からの変換を求める

まず、振幅が2倍になっているので、$y = 2\sin x$ となる。

次に、グラフがy軸方向に-1だけ平行移動しているので、$y = 2\sin x - 1$ となる。

最後に、周期が$\pi$になっているので、$x$の係数を考える。

$y = 2\sin Bx - 1$の周期は$\frac{2\pi}{B}$である。

周期が$\pi$なので、$\frac{2\pi}{B} = \pi$となり、$B = 2$である。

さらに、グラフは$x = \frac{5\pi}{12}$で$\sin$の値が0になっている。

$y = 2\sin(2x + C) - 1$となるような$C$を求める。

$x = \frac{5\pi}{12}$のとき、$2(\frac{5\pi}{12}) + C = 0$なので、$C = -\frac{5\pi}{6}$となる。

したがって、$y = 2\sin(2x - \frac{5\pi}{6}) - 1$となる。

$y = 2\sin(2(x - \frac{5\pi}{12})) - 1$

(3) $y = \cos x$ からの変換を求める

まず、振幅が2倍になっているので、$y = 2\cos x$ となる。

次に、グラフがy軸方向に-1だけ平行移動しているので、$y = 2\cos x - 1$ となる。

最後に、周期が$\pi$になっているので、$x$の係数を考える。

$y = 2\cos Bx - 1$の周期は$\frac{2\pi}{B}$である。

周期が$\pi$なので、$\frac{2\pi}{B} = \pi$となり、$B = 2$である。

$y = 2\cos 2x - 1$

グラフは$x = \frac{\pi}{12}$のとき、$y = 1$となる。

$y = 2\cos(2x + C) - 1$に$x = \frac{\pi}{12}$を代入すると、

$1 = 2\cos(2\frac{\pi}{12} + C) - 1$

$2 = 2\cos(\frac{\pi}{6} + C)$

$1 = \cos(\frac{\pi}{6} + C)$

$\frac{\pi}{6} + C = 0$

$C = -\frac{\pi}{6}$

$y = 2\cos(2x - \frac{\pi}{6}) - 1$

$y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{12})) - 1$

3. 最終的な答え

(1) 振幅: 2, 周期: $\pi$

(2) $y = 2\sin(2(x - \frac{5\pi}{12})) - 1$

(3) $y = 2\cos(2(x - \frac{\pi}{12})) - 1$