関数 $f(x) = \log(\sqrt{3} + \cos x)$ ($-\pi \le x \le \pi$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を、選択肢の中から選ぶ。 (2) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $P(\alpha, \beta)$ における接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるとき、$\alpha$ の値を、選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(\sqrt{3} + \cos x)$ ($-\pi \le x \le \pi$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を、選択肢の中から選ぶ。

(2) $y = f(x)$ のグラフ上の点 $P(\alpha, \beta)$ における接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ であるとき、$\alpha$ の値を、選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = \frac{-\sin x}{\sqrt{3} + \cos x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $\sin x = 0$ のとき。$-\pi \le x \le \pi$ より、$x = -\pi, 0, \pi$

$x = -\pi$ のとき、$f(-\pi) = \log(\sqrt{3} - 1)$

$x = 0$ のとき、$f(0) = \log(\sqrt{3} + 1)$

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = \log(\sqrt{3} - 1)$

$f''(x) = \frac{-\cos x (\sqrt{3} + \cos x) - (-\sin x)(-\sin x)}{(\sqrt{3} + \cos x)^2} = \frac{-\sqrt{3}\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(\sqrt{3} + \cos x)^2} = \frac{-\sqrt{3}\cos x - 1}{(\sqrt{3} + \cos x)^2}$

$f''(0) = \frac{-\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)^2} < 0$ なので、$x = 0$ で極大値をとる。極大値は $f(0) = \log(\sqrt{3} + 1)$

$f''(-\pi) = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} - 1)^2} > 0$ なので、$x = -\pi$ で極小値をとる。極小値は $f(-\pi) = \log(\sqrt{3} - 1)$

$f''(\pi) = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} - 1)^2} > 0$ なので、$x = \pi$ で極小値をとる。極小値は $f(\pi) = \log(\sqrt{3} - 1)$

(2) 接線の傾きが $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\alpha$ を求める。

$f'(\alpha) = \frac{-\sin \alpha}{\sqrt{3} + \cos \alpha} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} + \cos \alpha$

$\sqrt{3} \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{3}$

$2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha) = \sqrt{3}$

$2 \sin (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$

$\sin (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\alpha = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$\alpha = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 極大値は②、極小値は③。

(2) $\alpha$ は④、⑥。