与えられた微分方程式を解きます。微分方程式は次の通りです。 $\frac{dy}{dx} + y = 1$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解きます。微分方程式は次の通りです。

$\frac{dy}{dx} + y = 1$

2. 解き方の手順

これは1階線形微分方程式です。積分因子を用いて解きます。

積分因子 $I(x)$ は、次の式で与えられます。

$I(x) = e^{\int P(x) dx}$

ここで、$P(x)$ は、$y$ の係数であり、この場合は $P(x) = 1$ です。

したがって、

$I(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

与えられた微分方程式の両辺に積分因子を掛けます。

$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = e^x$

左辺は積の微分に書き換えることができます。

$\frac{d}{dx}(y e^x) = e^x$

両辺を $x$ で積分します。

$\int \frac{d}{dx}(y e^x) dx = \int e^x dx$

$y e^x = e^x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$y$ について解きます。

$y = \frac{e^x + C}{e^x} = 1 + \frac{C}{e^x} = 1 + C e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = 1 + Ce^{-x}$