$\sinh x$, $\cosh x$, $\sin x \cos x$ のマクローリン展開を求めよ。

1. 問題の内容

$\sinh x$, $\cosh x$, $\sin x \cos x$ のマクローリン展開を求めよ。

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、マクローリン展開を求めます。マクローリン展開は、関数を0の周りでテイラー展開したものです。

マクローリン展開の公式は以下の通りです。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

(1) $\sinh x$ のマクローリン展開

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ です。

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-x}$ のマクローリン展開は $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \right) - \left( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots \right) \right] = \frac{1}{2} \left( 2x + 2\frac{x^3}{3!} + 2\frac{x^5}{5!} + \dots \right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots$

$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

(2) $\cosh x$ のマクローリン展開

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ です。

$e^x$ のマクローリン展開は $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^{-x}$ のマクローリン展開は $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots$

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{1}{2} \left[ \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \right) + \left( 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \dots \right) \right] = \frac{1}{2} \left( 2 + 2\frac{x^2}{2!} + 2\frac{x^4}{4!} + \dots \right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$

$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

(3) $\sin x \cos x$ のマクローリン展開

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ です。

$\sin x$ のマクローリン展開は $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin 2x$ のマクローリン展開は $\sin 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^5}{5!} - \dots$

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{4x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} - \dots = x - \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \dots$

3. 最終的な答え

$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\sin x \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} x^{2n+1}}{(2n+1)!}$