(1) 関数 $f(x) = e^{x} \ln x$ を微分せよ。 (2) $y = f(x) = e^{x} \ln x$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = e^{x} \ln x$ を微分せよ。

(2) $y = f(x) = e^{x} \ln x$ のグラフ上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = e^{x} \ln x$ を微分するには、積の微分法を使う。

積の微分法は、$(uv)' = u'v + uv'$である。

ここで、$u = e^{x}$、 $v = \ln x$とすると、$u' = e^{x}$、$v' = \frac{1}{x}$である。

したがって、

$f'(x) = (e^{x} \ln x)' = (e^{x})' \ln x + e^{x} (\ln x)' = e^{x} \ln x + e^{x} \cdot \frac{1}{x} = e^{x} (\ln x + \frac{1}{x})$

(2) 接線の方程式を求める。まず、$f(1)$を求める。

$f(1) = e^{1} \ln 1 = e \cdot 0 = 0$

したがって、接点の座標は $(1, 0)$ である。

次に、$f'(1)$を求める。

$f'(1) = e^{1} (\ln 1 + \frac{1}{1}) = e (0 + 1) = e$

したがって、接線の傾きは $e$ である。

接線の方程式は、$y - y_{1} = m(x - x_{1})$ で与えられる。ここで、$(x_{1}, y_{1}) = (1, 0)$、 $m = e$ である。

$y - 0 = e(x - 1)$

$y = ex - e$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = e^{x} (\ln x + \frac{1}{x})$

(2) $y = ex - e$