与えられた極限を計算します。問題は、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+2y) - \sin(x+2y)}{h}$ を求めることです。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は、$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+2y) - \sin(x+2y)}{h}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

この極限は、ある関数の導関数の定義に似ています。

関数 $f(x) = \sin(x)$ の導関数の定義は次のとおりです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

今回の場合、$f(t) = \sin(t)$ とすると、$t = x+2y$ です。

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+2y) - \sin(x+2y)}{h} = \frac{d}{dt} \sin(t) \frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(x+2y)$

合成関数の微分を考えます。$f(x) = \sin(g(x))$ のとき、$f'(x) = \cos(g(x)) \cdot g'(x)$ となります。

この問題の場合、$g(x) = x+2y$ なので、$g'(x) = 1$ となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} \sin(x+2y) = \cos(x+2y) \cdot 1 = \cos(x+2y)$

別の解法として、三角関数の公式を用いる方法もあります。$\sin A - \sin B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ を用いると、

\begin{align*} \label{eq:1} \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h+2y) - \sin(x+2y)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos(\frac{x+h+2y + x+2y}{2}) \sin(\frac{x+h+2y - (x+2y)}{2})}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos(\frac{2x+h+4y}{2}) \sin(\frac{h}{2})}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+\frac{h}{2}+2y) \sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} \\ &= \lim_{h \to 0} \cos(x+\frac{h}{2}+2y) \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}} \\ &= \cos(x+2y) \cdot 1 \\ &= \cos(x+2y) \end{align*}

3. 最終的な答え

$\cos(x+2y)$