定積分 $\int_{-1}^{3} |x| dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{3} |x| dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号 $|x|$ は、

$x \geq 0$ のとき $|x| = x$,

$x < 0$ のとき $|x| = -x$

と定義されます。

したがって、積分区間を $[-1, 0]$ と $[0, 3]$ に分割し、それぞれの場合で絶対値記号を外して計算します。

$\int_{-1}^{3} |x| dx = \int_{-1}^{0} |x| dx + \int_{0}^{3} |x| dx$

$\int_{-1}^{0} |x| dx = \int_{-1}^{0} (-x) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = -\frac{0^2}{2} - \left( -\frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{3} |x| dx = \int_{0}^{3} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{3} = \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$

よって、

$\int_{-1}^{3} |x| dx = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

5