与えられた3つの関数について、グラフの漸近線を極限の計算を用いて求める問題です。 (1) $y = \frac{4^x + 8}{2}$ (2) $y = \frac{3x - 5}{x + 1}$ (3) $y = \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 + 2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、グラフの漸近線を極限の計算を用いて求める問題です。

(1) $y = \frac{4^x + 8}{2}$

(2) $y = \frac{3x - 5}{x + 1}$

(3) $y = \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{4^x + 8}{2}$

水平漸近線を求めます。

$x \to -\infty$ のとき、$4^x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{4^x + 8}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4$

したがって、水平漸近線は $y = 4$ です。

垂直漸近線は存在しません。

(2) $y = \frac{3x - 5}{x + 1}$

垂直漸近線を求めます。分母が0になる $x$ の値を調べます。

$x + 1 = 0$ より、$x = -1$

したがって、垂直漸近線は $x = -1$ です。

水平漸近線を求めます。$x \to \pm \infty$ のときの極限を計算します。

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x - 5}{x + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3 - \frac{5}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$

したがって、水平漸近線は $y = 3$ です。

(3) $y = \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 + 2}$

垂直漸近線を求めます。分母が0になる $x$ の値を調べます。

$2x^2 + 2 = 0$ より、$x^2 = -1$ 。これを満たす実数 $x$ は存在しません。

したがって、垂直漸近線は存在しません。

水平漸近線を求めます。$x \to \pm \infty$ のときの極限を計算します。

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 + 2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{2}{x^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$

したがって、水平漸近線は $y = \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 水平漸近線: $y = 4$

(2) 垂直漸近線: $x = -1$, 水平漸近線: $y = 3$

(3) 水平漸近線: $y = \frac{1}{2}$