以下の10個の関数について、$x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）と収束域を求める問題です。 (1) $\cosh x$ (2) $\sinh x$ (3) $\frac{1}{1-x}$ (4) $\frac{1}{1+x}$ (5) $\log(1+x)$ (6) $\frac{1}{1+x^2}$ (7) $\tan^{-1} x$ (8) $e^x$ (9) $\sin x$ (10) $\cos x$

1. 問題の内容

以下の10個の関数について、$x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）と収束域を求める問題です。

(1) $\cosh x$

(2) $\sinh x$

(3) $\frac{1}{1-x}$

(4) $\frac{1}{1+x}$

(5) $\log(1+x)$

(6) $\frac{1}{1+x^2}$

(7) $\tan^{-1} x$

(8) $e^x$

(9) $\sin x$

(10) $\cos x$

2. 解き方の手順

各関数のマクローリン展開と収束域を求めます。

(1) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ であるから、

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

したがって、

$\cosh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

収束域：$-\infty < x < \infty$

(2) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ であるから、

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

したがって、

$\sinh x = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

収束域：$-\infty < x < \infty$

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

収束域：$|x| < 1$

(4) $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

収束域：$|x| < 1$

(5) $\log(1+x)$

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

$\log(1+x) = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$x=0$ のとき $\log(1+0) = 0$ より $C=0$

$\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$

収束域：$-1 < x \le 1$

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

収束域：$|x^2| < 1$ より $|x| < 1$

(7) $\tan^{-1} x$

$\frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

$\tan^{-1} x = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x=0$ のとき $\tan^{-1} 0 = 0$ より $C=0$

$\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

収束域：$|x| \le 1$

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

収束域：$-\infty < x < \infty$

(9) $\sin x$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

収束域：$-\infty < x < \infty$

(10) $\cos x$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

収束域：$-\infty < x < \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域：$-\infty < x < \infty$

(2) $\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域：$-\infty < x < \infty$

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$, 収束域：$|x| < 1$

(4) $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, 収束域：$|x| < 1$

(5) $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$, 収束域：$-1 < x \le 1$

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$, 収束域：$|x| < 1$

(7) $\tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$, 収束域：$|x| \le 1$

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, 収束域：$-\infty < x < \infty$

(9) $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域：$-\infty < x < \infty$

(10) $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域：$-\infty < x < \infty$