## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が与えられたとき、条件 $g(x, y) = 0$ のもとで、$f(x, y)$ の最大値と最小値をラグランジュの未定乗数法を用いて求めます。

具体的には、以下の6つの問題に取り組みます。

1. $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$

2. $f(x, y) = 2x + y$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$

3. $f(x, y) = xy$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$

4. $f(x, y) = \frac{x}{2} + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

5. $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

6. $f(x, y) = \frac{xy}{2}$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$

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2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法では、ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda g(x, y)$ を定義し、以下の連立方程式を解きます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 0$

$g(x, y) = 0$

ここで、$\lambda$ はラグランジュ乗数です。

この連立方程式を解いて、停留点$(x, y)$を求め、それぞれの停留点における$f(x, y)$の値を計算します。

これらの値の中で最大のものと最小のものが、$f(x, y)$ の最大値と最小値となります。

以下、各問題について具体的に計算します。

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1. $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

$x = \frac{1}{2\lambda}$ , $y = \frac{1}{2\lambda}$ より、$x = y$。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入して、$2x^2 = 1$。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = y$。

停留点は$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$と$(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

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2. $f(x, y) = 2x + y$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = 2x + y - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2 - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

$x = \frac{1}{\lambda}$ , $y = \frac{1}{2\lambda}$ より、$x = 2y$。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入して、$4y^2 + y^2 = 5y^2 = 1$。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$。

停留点は$(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$と$(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$。

$f(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$f(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$

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3. $f(x, y) = xy$, $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = xy - \lambda (x^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0$

$x^2 + y^2 = 1$

$y = 2\lambda x$ , $x = 2\lambda y$。

$y = 2\lambda (2\lambda y) = 4\lambda^2 y$。

$y(1 - 4\lambda^2) = 0$。

(i) $y = 0$ のとき、$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$。

(ii) $1 - 4\lambda^2 = 0$ のとき、$\lambda = \pm \frac{1}{2}$。

$y = 2\lambda x$ に代入して、$y = \pm x$。

$x^2 + y^2 = 1$ に代入して、$2x^2 = 1$。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ (複合任意)。

停留点は$(1, 0)$, $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。

$f(1, 0) = f(-1, 0) = f(0, 1) = f(0, -1) = 0$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2}$

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4. $f(x, y) = \frac{x}{2} + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = \frac{x}{2} + y - \lambda ((\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{2} - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$(\frac{x}{2})^2 + y^2 = 1$

$x = \frac{1}{\lambda}$ , $y = \frac{1}{2\lambda}$ より、$x = 2y$。

$\frac{x^2}{4} + y^2 = y^2 + y^2 = 2y^2 = 1$。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$

停留点は$(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$と$(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。

$f(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$f(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

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5. $f(x, y) = x + y$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = x + y - \lambda ((\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = 1 - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2\lambda y = 0$

$(\frac{x}{2})^2 + y^2 = 1$

$x = \frac{2}{\lambda}$ , $y = \frac{1}{2\lambda}$ より、$x = 4y$。

$\frac{x^2}{4} + y^2 = 4y^2 + y^2 = 5y^2 = 1$。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$。

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$。

停留点は$(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$と$(-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}})$。

$f(\frac{4}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$f(-\frac{4}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}) = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$

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6. $f(x, y) = \frac{xy}{2}$, $g(x, y) = (\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1$**

$L(x, y, \lambda) = \frac{xy}{2} - \lambda ((\frac{x}{2})^2 + y^2 - 1)$

$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y}{2} - \lambda \frac{x}{2} = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{x}{2} - 2\lambda y = 0$

$(\frac{x}{2})^2 + y^2 = 1$

$y = \lambda x$ , $x = 4\lambda y$。

$y = \lambda (4\lambda y) = 4\lambda^2 y$。

$y(1 - 4\lambda^2) = 0$。

(i) $y = 0$ のとき、$(\frac{x}{2})^2 = 1$ より、$x = \pm 2$。

(ii) $1 - 4\lambda^2 = 0$ のとき、$\lambda = \pm \frac{1}{2}$。

$y = \lambda x$ に代入して、$y = \pm \frac{x}{2}$。

$(\frac{x}{2})^2 + y^2 = 1$ に代入して、$\frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{2} = 1$。

$x = \pm \sqrt{2}$。

したがって、$x = \pm \sqrt{2}$, $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ (複合任意)。

停留点は$(2, 0)$, $(-2, 0)$, $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$。

$f(2, 0) = f(-2, 0) = 0$

$f(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$

$f(\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{2}$

$f(-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

以下に、各問題に対する最大値と最小値を示します。

1. 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: $-\sqrt{2}$

2. 最大値: $\sqrt{5}$, 最小値: $-\sqrt{5}$

3. 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: $-\frac{1}{2}$

4. 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: $-\sqrt{2}$

5. 最大値: $\sqrt{5}$, 最小値: $-\sqrt{5}$

6. 最大値: $\frac{1}{2}$, 最小値: $-\frac{1}{2}$