次の関数について、$x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、収束域を求める問題です。対象となる関数は以下の10個です。 (1) $\cosh x$ (2) $\sinh x$ (3) $\frac{1}{1-x}$ (4) $\frac{1}{1+x}$ (5) $\log(1+x)$ (6) $\frac{1}{1+x^2}$ (7) $\tan^{-1}x$ (8) $e^x$ (9) $\sin x$ (10) $\cos x$

1. 問題の内容

次の関数について、$x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、収束域を求める問題です。対象となる関数は以下の10個です。

(1) $\cosh x$

(2) $\sinh x$

(3) $\frac{1}{1-x}$

(4) $\frac{1}{1+x}$

(5) $\log(1+x)$

(6) $\frac{1}{1+x^2}$

(7) $\tan^{-1}x$

(8) $e^x$

(9) $\sin x$

(10) $\cos x$

2. 解き方の手順

各関数について、マクローリン展開を求め、収束半径を求めます。既知のマクローリン展開を利用したり、微分・積分を用いて導出したりします。

(1) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!}$

よって、

$\cosh x = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

収束半径は $R=\infty$。したがって、収束域は $-\infty < x < \infty$。

(2) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\sinh x = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

収束半径は $R=\infty$。したがって、収束域は $-\infty < x < \infty$。

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$ (等比級数)

収束条件は $|x| < 1$。したがって、収束域は $-1 < x < 1$。

(4) $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

収束条件は $|-x| < 1 \Leftrightarrow |x| < 1$。したがって、収束域は $-1 < x < 1$。

(5) $\log(1+x)$

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

積分して、

$\log(1+x) = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} + C$

$x=0$ のとき $\log(1+0) = 0$ なので $C=0$。

$\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$

収束半径は $R=1$。 $x=1$ のとき、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ は収束。$x=-1$ のとき、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} (-1)^{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ は発散。

したがって、収束域は $-1 < x \leq 1$。

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

収束条件は $|-x^2| < 1 \Leftrightarrow |x^2| < 1 \Leftrightarrow |x| < 1$。したがって、収束域は $-1 < x < 1$。

(7) $\tan^{-1}x$

$\frac{d}{dx} \tan^{-1}x = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

積分して、

$\tan^{-1}x = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} + C$

$x=0$ のとき $\tan^{-1}0 = 0$ なので $C=0$。

$\tan^{-1}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$

収束半径は $R=1$。 $x=1$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ は収束。$x=-1$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} (-1)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+1} = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ は収束。

したがって、収束域は $-1 \leq x \leq 1$。

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

収束半径は $R=\infty$。したがって、収束域は $-\infty < x < \infty$。

(9) $\sin x$

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

収束半径は $R=\infty$。したがって、収束域は $-\infty < x < \infty$。

(10) $\cos x$

$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

収束半径は $R=\infty$。したがって、収束域は $-\infty < x < \infty$。

3. 最終的な答え

(1) $\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(2) $\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

(4) $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

(5) $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$, 収束域: $-1 < x \leq 1$

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$, 収束域: $-1 < x < 1$

(7) $\tan^{-1}x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$, 収束域: $-1 \leq x \leq 1$

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(9) $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(10) $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$