与えられた積分 $\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、部分積分と三角関数の置換積分を使用します。

ステップ1: 部分積分を行う

まず、$u = x$、$dv = \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$ と置きます。

このとき、$du = dx$ であり、$v$ を計算する必要があります。

$dv$ を積分するには、$t = 1+x^2$ と置換します。すると、$dt = 2x dx$ となり、$x dx = \frac{1}{2} dt$ です。

したがって、

$v = \int \frac{x}{(1+x^2)^2} dx = \int \frac{1}{2t^2} dt = \frac{1}{2} \int t^{-2} dt = \frac{1}{2} (-t^{-1}) = -\frac{1}{2(1+x^2)}$

となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = x \left(-\frac{1}{2(1+x^2)}\right) - \int \left(-\frac{1}{2(1+x^2)}\right) dx$

$= -\frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} dx$

ステップ2: $\int \frac{1}{1+x^2} dx$ を計算する

$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ となります。

ステップ3: 最終的な積分結果を求める

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = -\frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} dx = -\frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan(x) + C$