与えられた6つの関数について、それぞれの定義域と値域を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれの定義域と値域を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数ごとに、定義域と値域を以下の手順で求めます。

(1) $y = \frac{1}{x+5}$

* 定義域：分母が0にならない条件から、$x+5 \neq 0$ より $x \neq -5$。したがって、定義域は $x<-5$ または $x>-5$。区間表記では $(-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$。

* 値域：$x = \frac{1}{y} - 5$ と変形できる。$y=0$を除くすべての実数を取りうる。したがって、値域は $y<0$ または $y>0$。区間表記では $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。

(2) $y = x^2 + 2$

* 定義域：すべての実数。区間表記では $(-\infty, \infty)$。

* 値域：$x^2 \geq 0$ であるから、$y = x^2 + 2 \geq 2$。したがって、値域は $y \geq 2$。区間表記では $[2, \infty)$。

(3) $y = \sqrt{9-x^2}$

* 定義域：根号の中身が負にならない条件から、$9 - x^2 \geq 0$ より $x^2 \leq 9$。したがって、$-3 \leq x \leq 3$。区間表記では $[-3, 3]$。

* 値域：$x$ が $-3 \leq x \leq 3$ の範囲で、$9-x^2$ は 0 から 9 までの値を取る。したがって、$y = \sqrt{9-x^2}$ は 0 から 3 までの値を取る。値域は $0 \leq y \leq 3$。区間表記では $[0, 3]$。

(4) $y = \frac{3x+5}{x+3}$

* 定義域：分母が0にならない条件から、$x+3 \neq 0$ より $x \neq -3$。したがって、定義域は $x<-3$ または $x>-3$。区間表記では $(-\infty, -3) \cup (-3, \infty)$。

* 値域：$y = \frac{3x+5}{x+3} = \frac{3(x+3) - 4}{x+3} = 3 - \frac{4}{x+3}$ と変形できる。$x+3$は0を除くすべての実数を取りうるので、$\frac{4}{x+3}$も0を除くすべての実数を取りうる。したがって、$y$は3を除くすべての実数を取りうる。値域は $y<3$ または $y>3$。区間表記では $(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$。

(5) $y = -2x^2 + 6x - 5$

* 定義域：すべての実数。区間表記では $(-\infty, \infty)$。

* 値域：平方完成すると、$y = -2(x^2 - 3x) - 5 = -2(x - \frac{3}{2})^2 + 2(\frac{9}{4}) - 5 = -2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{2}$。$(x-\frac{3}{2})^2 \geq 0$ より、$y \leq -\frac{1}{2}$。したがって、値域は $y \leq -\frac{1}{2}$。区間表記では $(-\infty, -\frac{1}{2}]$。

(6) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$

* 定義域：根号の中身が正になる条件から、$x^2 - 4 > 0$ より $x^2 > 4$。したがって、$x < -2$ または $x > 2$。区間表記では $(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$。

* 値域：

* $x > 2$ のとき、$x^2-4 > 0$ なので$\sqrt{x^2 - 4} > 0$。したがって、$y = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} > 0$。$y^2 = \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{x^2 - 4 + 4}{x^2-4} = 1 + \frac{4}{x^2-4}$ となる。$x$ が $2$ に近づくと $x^2-4$ は $0$ に近づき、$y^2$ は無限大に発散する。$x$ が無限大に発散すると、$x^2-4$も無限大に発散し、$y^2$ は $1$ に近づく。したがって、$y > 1$。

* $x < -2$ のとき、$x^2-4 > 0$ なので$\sqrt{x^2 - 4} > 0$。したがって、$y = \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} < 0$。$y^2 = \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{x^2 - 4 + 4}{x^2-4} = 1 + \frac{4}{x^2-4}$ となる。$x$ が $-2$ に近づくと $x^2-4$ は $0$ に近づき、$y^2$ は無限大に発散する。$x$ が負の無限大に発散すると、$x^2-4$も無限大に発散し、$y^2$ は $1$ に近づく。したがって、$y < -1$。

値域は $y<-1$ または $y>1$。区間表記では $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$。

3. 最終的な答え

(1) 定義域：$(-\infty, -5) \cup (-5, \infty)$、値域：$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$

(2) 定義域：$(-\infty, \infty)$、値域：$[2, \infty)$

(3) 定義域：$[-3, 3]$、値域：$[0, 3]$

(4) 定義域：$(-\infty, -3) \cup (-3, \infty)$、値域：$(-\infty, 3) \cup (3, \infty)$

(5) 定義域：$(-\infty, \infty)$、値域：$(-\infty, -\frac{1}{2}]$

(6) 定義域：$(-\infty, -2) \cup (2, \infty)$、値域：$(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$