次の関数の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、また、収束域を求める。 (1) $\cosh x$ (2) $\sinh x$ (3) $\frac{1}{1-x}$ (4) $\frac{1}{1+x}$ (5) $\log(1+x)$ (6) $\frac{1}{1+x^2}$ (7) $\arctan x$ (8) $e^x$ (9) $\sin x$ (10) $\cos x$

1. 問題の内容

次の関数の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求め、また、収束域を求める。

(1) $\cosh x$

(2) $\sinh x$

(3) $\frac{1}{1-x}$

(4) $\frac{1}{1+x}$

(5) $\log(1+x)$

(6) $\frac{1}{1+x^2}$

(7) $\arctan x$

(8) $e^x$

(9) $\sin x$

(10) $\cos x$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開において $a = 0$ とした場合である。すなわち、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次の式で与えられる。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

収束半径を求めるには、比テスト、ルートテストなどを適用する。

今回は既知のマクローリン展開を利用していく。

(1) $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!}$

$\cosh x = \frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1+(-1)^n)x^n}{n!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$

収束域は $-\infty < x < \infty$.

(2) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\sinh x = \frac{1}{2}\left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-(-1)^n)x^n}{n!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

収束域は $-\infty < x < \infty$.

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

収束域は $|x| < 1$ すなわち $-1 < x < 1$.

(4) $\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

収束域は $|-x| < 1$ すなわち $|x| < 1$ つまり $-1 < x < 1$.

(5) $\log(1+x)$

$\frac{d}{dx} \log(1+x) = \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

$\log(1+x) = \int \frac{1}{1+x} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int x^n dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$x=0$ のとき $\log(1+0) = 0$ より $C=0$.

よって $\log(1+x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$

収束域は $-1 < x \le 1$.

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

収束域は $|-x^2| < 1$ すなわち $|x^2| < 1$ つまり $|x| < 1$, $-1 < x < 1$.

(7) $\arctan x$

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

$\arctan x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x=0$ のとき $\arctan 0 = 0$ より $C=0$.

よって $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

収束域は $-1 \le x \le 1$.

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

収束域は $-\infty < x < \infty$.

(9) $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

収束域は $-\infty < x < \infty$.

(10) $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

収束域は $-\infty < x < \infty$.

3. 最終的な答え

(1) $\cosh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(2) $\sinh x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(3) $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

(4) $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, 収束域: $-1 < x < 1$

(5) $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$, 収束域: $-1 < x \le 1$

(6) $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$, 収束域: $-1 < x < 1$

(7) $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$, 収束域: $-1 \le x \le 1$

(8) $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(9) $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$

(10) $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$, 収束域: $-\infty < x < \infty$