与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式を利用する。

$\frac{1}{1-r} = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$

ただし、$|r| < 1$ である必要があります。

(2) 上の式において、$r = -x^2$ とおくと、

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

ただし、$|-x^2| = x^2 < 1$、すなわち $|x| < 1$ である必要があります。

3. 最終的な答え

関数 $\frac{1}{1+x^2}$ の $x=0$ におけるテイラー展開（マクローリン展開）は、

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8 - \cdots$

（ただし、$|x| < 1$）