媒介変数 $t$ で表された関数 $x = -\cos(3t)$, $y = \sin(4t)$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{4}$)で定義される関数 $y=f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求めます。 (2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos(4t) \cos(3t) \mp \sin(4t) \sin(3t)$ (複号同順) を利用して、$\sin(4t) \sin(3t)$ を変形します。 (3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された関数 $x = -\cos(3t)$, $y = \sin(4t)$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{4}$)で定義される関数 $y=f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 関数 $f(x)$ の増減表から、極値を求めます。

(2) $\cos(4t \pm 3t) = \cos(4t) \cos(3t) \mp \sin(4t) \sin(3t)$ (複号同順) を利用して、$\sin(4t) \sin(3t)$ を変形します。

(3) 関数 $y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 極値を求めるために、$dy/dx$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4\cos(4t)}{3\sin(3t)}$

極値は $\frac{dy}{dx} = 0$ となる $t$ の値で発生します。$4\cos(4t) = 0$ より $\cos(4t) = 0$。

したがって、$4t = \frac{\pi}{2}$, $t = \frac{\pi}{8}$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{4}$)

$t = \frac{\pi}{8}$ のとき、$x = -\cos(\frac{3\pi}{8})$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

増減表を作成し、$t = \frac{\pi}{8}$ のとき極大値 $1$ をとることが分かります。

(2) $\cos(4t-3t) = \cos(4t)\cos(3t) + \sin(4t)\sin(3t)$

$\cos(4t+3t) = \cos(4t)\cos(3t) - \sin(4t)\sin(3t)$

したがって、

$\cos(t) - \cos(7t) = 2\sin(4t)\sin(3t)$

$\sin(4t)\sin(3t) = \frac{1}{2}(\cos(t) - \cos(7t))$

(3) 求める面積は、$\int y dx$ です。$x = -\cos(3t)$ より $dx = 3\sin(3t) dt$。

面積 $S = \int y dx = \int_0^{\pi/4} \sin(4t) (3\sin(3t)) dt = 3 \int_0^{\pi/4} \sin(4t)\sin(3t) dt$

(2) の結果より、

$S = \frac{3}{2} \int_0^{\pi/4} (\cos(t) - \cos(7t)) dt = \frac{3}{2} [\sin(t) - \frac{1}{7}\sin(7t)]_0^{\pi/4} = \frac{3}{2} [ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{7}(-\frac{\sqrt{2}}{2})] = \frac{3}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{14}) = \frac{3}{2} \frac{8\sqrt{2}}{14} = \frac{3}{2} \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{6\sqrt{2}}{7} = \frac{12\sqrt{2}}{14} = \frac{6\sqrt{2}}{7}$

$S = \frac{3}{2} \int_0^{\pi/4} (\cos(t) - \cos(7t)) dt$

$S= \frac{3}{2} \left[ \sin t - \frac{1}{7} \sin 7t \right]_0^{\pi/4}$

$S = \frac{3}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{7} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right]$

$S = \frac{3}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{14} \right]$

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{2}}{14} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4 \sqrt{2}}{7} = \frac{6 \sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 7

(3) $\frac{3 \sqrt{2}}{7}$