関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大となる点での極大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x}$ の極大となる点での極大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これが極値の候補となる点です。求めた $x$ の値に対して、関数の2階微分 $f''(x)$ を計算し、$f''(x) < 0$ ならば極大、$f''(x) > 0$ ならば極小、$f''(x) = 0$ ならば判定不能となります。極大となる $x$ の値を元の関数 $f(x)$ に代入することで極大値を求めます。

(1) 導関数を求める

$f(x) = xe^{-x}$ を微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$ とすると $u' = 1$。

$v = e^{-x}$ とすると $v' = -e^{-x}$。

よって、

$f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1-x)$

(2) 極値の候補を求める

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-x}(1-x) = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$1-x = 0$ を解いて $x=1$ を得ます。

(3) 2階微分を求める

$f''(x)$ を求めます。

$f'(x) = e^{-x}(1-x)$ を微分します。

$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x}$ を微分します。

$f''(x) = -e^{-x} - (1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})) = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = -2e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(x-2)$

(4) 極大か極小かを判定する

$x=1$ における $f''(x)$ の符号を調べます。

$f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} = -\frac{1}{e} < 0$

$f''(1) < 0$ なので、$x=1$ で極大となります。

(5) 極大値を求める

$x=1$ を $f(x)$ に代入して極大値を求めます。

$f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$