定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数を求めます。$\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) + C$ であることを知っています。ここで $C$ は積分定数です。

次に、定積分の計算を行います。

$\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) \Big|_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} = \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3})$

$\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ です。なぜなら、$\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ だからです。

$\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ です。なぜなら、$\tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ だからです。

したがって、

$\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(-\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2\pi}{3}$