$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

指数関数のテイラー展開を利用します。$e^x$ のテイラー展開は次の通りです。

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots$

問題文に与えられた不等式の右辺を$S_n$とすると、

$S_n = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$

$e^x$ のテイラー展開の式から$S_n$を引くと、

$e^x - S_n = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} + \frac{x^{n+2}}{(n+2)!} + \dots$

ここで、$x > 0$ なので、全ての項 $\frac{x^k}{k!}$ は正です。

したがって、$e^x - S_n > 0$、つまり、$e^x > S_n$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$x>0$ のとき、$e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!}$ が成り立つ。