(2)の問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

(2)の問題は、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、分子も分母も $x \to 0$ で $0$ に近づく不定形なので、ロピタルの定理を利用します。

まず、分子を $f(x) = e^x - e^{-x} - 2x$、分母を $g(x) = x - \sin x$ とします。

$f'(x) = e^x + e^{-x} - 2$

$g'(x) = 1 - \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$

この極限も不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$f''(x) = e^x - e^{-x}$

$g''(x) = \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

この極限も不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$f'''(x) = e^x + e^{-x}$

$g'''(x) = \cos x$

$\lim_{x \to 0} \frac{f'''(x)}{g'''(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{e^0 + e^{-0}}{\cos 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x} = 2$