与えられた4つの無限級数について、収束するか発散するかを判定し、収束する場合はその和を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの無限級数について、収束するか発散するかを判定し、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $1 - 2 + 4 - 8 + \dots$ は、初項1、公比-2の等比数列の和である。公比の絶対値が1より大きいので、発散する。

(2) $5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + (-1) + (-2) + \dots$ は、一般項が $a_n = 6 - n$ で表される数列の和である。項が0に収束するので、収束するかどうかは部分和を考える必要がある。$S_n = \sum_{k=1}^n (6-k) = 6n - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{12n - n^2 - n}{2} = \frac{-n^2 + 11n}{2}$。$n$が大きくなるにつれて、$S_n$は$-\infty$に発散する。

(3) $\sum_{k=1}^\infty (-\frac{2}{3})^k$ は、初項 $-\frac{2}{3}$、公比 $-\frac{2}{3}$ の等比数列の無限級数である。公比の絶対値が1より小さいので、収束する。収束値は、

$\frac{-\frac{2}{3}}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{-\frac{2}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = -\frac{2}{5}$

(4) $3 + \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots$ は、初項3、公比 $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ の等比数列の和である。公比の絶対値が1より小さいので、収束する。収束値は、

$\frac{3}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{9}{3 - \sqrt{3}} = \frac{9(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{9(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{3(3 + \sqrt{3})}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 発散

(3) 収束し、和は $-\frac{2}{5}$

(4) 収束し、和は $\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$