$\lim_{x \to -\infty} xe^x$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} xe^x$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$ のとき、$x$ は負の無限大に近づき、$e^x$ は 0 に近づきます。したがって、この極限は $-\infty \times 0$ の不定形となります。この不定形を解消するために、ロピタルの定理を適用できる形に変形します。

$xe^x$ を $\frac{x}{e^{-x}}$ と書き換えます。すると、$x \to -\infty$ のとき、分子は $-\infty$ に近づき、分母は $\infty$ に近づき、$\frac{-\infty}{\infty}$ という形の不定形になります。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{d}{dx}x}{\frac{d}{dx}e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} -e^x$

となります。

$x \to -\infty$ のとき、$e^x \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} -e^x = 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$