与えられた無限級数の和を求めます。無限級数は以下の通りです。 $(1+1) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{9}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{27}) + \dots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求めます。無限級数は以下の通りです。

$(1+1) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{9}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{27}) + \dots$

2. 解き方の手順

この無限級数を二つの等比数列の和に分解します。

$S = (1+1) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{9}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{27}) + \dots$

$S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots) + (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots)$

それぞれの括弧の中は等比数列の和なので、等比数列の和の公式を利用します。等比数列の和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

一つ目の等比数列は、初項 $a_1 = 1$、公比 $r_1 = \frac{1}{2}$ なので、その和は

$S_1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

二つ目の等比数列は、初項 $a_2 = 1$、公比 $r_2 = \frac{1}{3}$ なので、その和は

$S_2 = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

したがって、与えられた無限級数の和は

$S = S_1 + S_2 = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}$