次の無限級数の和を求める問題です。 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{3^n}$

1. 問題の内容

次の無限級数の和を求める問題です。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{3^n}$

2. 解き方の手順

$\cos(n\pi)$ の値は、$n$が偶数のとき1、$n$が奇数のとき-1となるので、$\cos(n\pi) = (-1)^n$ と書けます。したがって、与えられた無限級数は次のように書き換えられます。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(n\pi)}{3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n}$

これは、初項1、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比級数です。等比級数の和の公式は、$|r| < 1$ のとき、$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$ で与えられます。ここで、$a = 1$、$r = -\frac{1}{3}$ であるため、$|r| = \frac{1}{3} < 1$ の条件を満たします。したがって、等比級数の和は次のようになります。

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^n} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$